Números escondidos en agujas y triángulos

Primera entrada de ciencia. No tengo ni la más remota idea de como escribir símbolos matemáticos en el blog, pero bueno intentaré apañármelas. La idea es contar (explicar?, buf, no sé) dos “lugares” donde aparecen de forma sorprendente los números pi y e, los dos números irracionales ( no pueden escribirse en forma de fracción) más importantes para un público con conocimientos básicos (pero básicos de verdad) de matemáticas.

La Aguja de Buffon

Se trata de un problema de probabilidad planteado en 1733 por George Louis Leclerc, conde de Buffon. Tenemos una hoja de un cuaderno rayado (que no cuadriculado), es decir, cuyas hojas poseen rayas paralelas de igual distancia (D). Cogemos una aguja que posea la misma longitud que la distancia que separa estas rayas (D también) y empezamos a lanzarla encima de la hoja del cuaderno. Vamos anotando por un lado el numero total de lanzamientos de la aguja (N) y el numero de veces que la aguja lanzada cruza algunas de las líneas que dividen el cuaderno (A). ¿Hasta aquí bien? No, vale, seguro que es verdad. He aquí el siempre mágico dibujo de la Wikipedia:

En el lanzamiento ‘a’ la aguja cruza la línea, a diferencia del lanzamiento ‘b’. t es la distancia que nosotros hemos denotado como D

Vale, pues ahora tras una serie de cuentas (funciones de densidad, variables aleatorias, integrales dobles….) llegamos a la conclusión de que la probabilidad de que la aguja cruce la línea es 2/(pi), es decir, que aproximadamente el número pi es igual a (2N)/A . Cuantos más lanzamientos de agujas realicemos la aproximación será cada vez mayor ¿Increíble o no?

El número e en el triángulo de Tartaglia

Para encontrar al famoso número e en el triángulo de Tartaglia o Pascal empezaremos dando una pequeña idea de este concepto.
Se trata de representar un triángulo compuesto por n líneas. Si vamos numerando las líneas del número 1 hasta la línea n, cada una de estas líneas estará compuesta esa cantidad de números, vamos que la línea 3 tiene 3 números, la línea 4 tiene 4 números y así sucesivamente. Los numeros que aparecen en este triángulo se denominan coeficientes binomiales, pero nosotros vamos a ver un concepto mucho más intuitivo: todas las líneas del triángulo comienzan y acaban con el número 1. Para obtener el resto de números del triángulo simplemente sumamos los dos numeros que hay en la línea superior de la línea donde esta situado el número que queremos calcular.
¿Bien hasta aquí? No, lo supongo, pero vamos a intentar terminar de cualquier manera.¿Dónde demonios aparece el dichoso número e? Veamos. Cojamos tres líneas consecutivas de este triángulo y llamemos A al producto de los números de la primera línea, B al de la segunda y C al de la tercera.
Hagamos la siguiente cuenta (A*C)/B^2 (Donde B^2 denota “B al cuadrado”, no me mateis) y anotemos el resultado. Observamos que acabamos de obtener una aproximación del número e. Si probamos a coger 3 líneas consecutivas que posean más números (es decir, líneas que se sitúen en la parte inferior del triángulo) entonces la aproximación es mejor. Vamos, que si hacemos lo que decimos los matemáticos “paso al límite”, es decir calcular este cociente con líneas compuestas cada vez por más y más números entonces el resultado de este “limite” es el número e como no podría ser de otra manera.
Como curiosidad anotar que a diferencia de la Aguja de Buffon, esta relación fue descubierta en 2012 por el matemático Harlan J. Brothers. Ahí queda eso
Para terminar otra imagen de la Wikipedia sobre el Triángulo de Tartaglia, que igual me ayuda a salvar esta entrada (ojalá)

Triángulo de Pascal de 10 filas. Vemos como todas las filas empiezan y terminan con el número 1

 

Bibliografía:
Aguja de Buffon: la primera vez que leí sobre ella fue en “El libro de las matemáticas” del siempre brillante Clifford Pickover. (Link). En la Wikipedia está explicado también este tema bastante bien
Número e y Triángulo de Tartaglia: En este post de Gaussianos puedes encontrar más cosas sobre esta curiosa relación (Link).

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